আংশিক অন্তরকলন ও মোট অন্তরকলনের মধ্যে পার্থক্য জানুন
আপনি কি আংশিক অন্তরকলন ও মোট অন্তরকলনের মধ্যে পার্থক্য জানতে চান? আংশিক অন্তরকলন কাকে বলে এবং মোট অন্তরকলন কাকে বলে? অর্থনীতিতে অন্তরকলনের ব্যবহার কি এবং অন্তরকলন বের করার নিয়ম সম্পর্কে আজকের এই পোষ্টে বিস্তারিত আলোচনা করব।
আসুন আমরা দেখে নেই আংশিক অন্তরকলন ও মোট অন্তরকলনের মধ্যে পার্থক্য কি, অন্তরকলন বের করার নিয়ম এবং আংশিক অন্তরকন্দন কাকে বলে আর মোট অন্তরকলন কাকে বলে।
অন্তরকলন কি
গণিতে অন্তরকলন খুবই গুরুত্বপূর্ণ। অন্তরকলন হলো ক্যালকুলাসের একটি মৌলিক শাখা এর মাধ্যমে যে কোন ফাংশন এর সমষ্টি ক্ষেত্রফল পরিমাণ কিংবা মোট মান বের করা সম্ভব। যেকোনো পরিমাণ এর পরিবর্তন বের করা সম্ভব। সহজ ভাষায় ডিফারেন্সিয়েশন যেখানে পরিবর্তনের হার জানাই সেখানে অন্তরকলন পরিবর্তন কত হলো তা বলে দেয়।
ভিন্ন ভিন্ন গণিতে ভেদ অন্তরকলনকে ভিন্ন ভিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। নিউটন বলেন অন্তরকলন হচ্ছে ফ্লাক্সোন এর একটি উল্টো প্রক্রিয়া। অর্থাৎ পরিবর্তনের হার জানা থাকলে অন্তরকলন দিয়ে মোট পরিবর্তন জানা সম্ভব।
আবার গডফ্রেড উইলহেল্ম বলেন অন্তরকলনকে দেখেছিলাম অসীম ক্ষুদ্র অংশের যোগফল হিসেবে। লিওনার্দো ওয়েলার বলেন অন্তরকলন হলো একটি ফাংশন এর থেকে অন্য একটি ফাংশন উৎপন্ন করার নিয়ম। অন্তরকলন একটি গাণিতিক রূপান্তর।
সহজ ভাষায় বলা যায়, অন্তরক সহগ নির্ণয়ের পদ্ধতিকে বলা হয় অন্তরকলন, আন্তরিকরণ এবং অন্তরকরণ। গণিতে অন্তরকলন এমন একটি প্রক্রিয়া এর মাধ্যমে যেকোন ফাংশনের সমাগলিত মান মোট পরিমাণ ডিফারেন্সিয়েসনের উল্টো ফল নির্ণয় করা সম্ভব।
কিংবা সংক্ষেপে বলা যায় গণিতে অন্তরকলন হলো কোন ফাংশানের ডিফারেন্সিয়েসনে বিপরীত প্রক্রিয়া যার মাধ্যমে ক্ষেত্রফল কিংবা মোট পরিমাণ নির্ণয় করা যায়। অন্তরকলন হলো অন্তরক শহগ নির্ণয় করার একটি প্রক্রিয়া। আশা করছি সকলেই বুঝতে পেরেছেন অন্তরকলন কি।
আপনাদের ম্যাট্রিক্সে হায়ার ম্যাথে কিংবা অর্থনীতি ডিপার্টমেন্টের গাণিতিক অর্থনীতি বই আপনারা অনেকেই দেখতে পারবেন এই অন্তরকলন অংক গুলো। এই অন্তরকলন খুবই গুরুত্বপূর্ণ প্রত্যেকটি শিক্ষার্থীর জন্য বিশেষ করে যারা অর্থনৈতিক বিভাগের শিক্ষার্থী কিংবা higher math শিক্ষার্থী তাদের জন্য অন্তরকলন শিখে রাখা খুবই জরুরী।
আংশিক অন্তরকলন কাকে বলে
আংশিক অন্তরকলন কাকে বলে?? আংশিক অন্তর কলন বলতে বোঝায় যে সকল ফাংশনে একাধিক স্বাধীনচলক থাকে আর সেই ফাংশনের কোন একটি চলকের সাপেক্ষে অন্তরক নির্ণয় করা হয় তাকে বলা হয় আংশিক অন্তরকরণ।
অর্থাৎ একাধিক স্বাধীন চলকের মাঝে সেই ফানসানের একটি চলকের সাপেক্ষে যখন অন্তরক নির্ণয় করা হয় তখন তাকে বলা হয় আংশিক অন্তর কলন। এই বিষয়ে ভিন্ন ভিন্ন গণিতবিদ ভিন্ন ভিন্ন সংজ্ঞা প্রদান করেছেন যেমন নিচে কিছু গণিতবিদের সংজ্ঞা আলোচনা করা হলো।।
- ল্যাপাস বলেন, বহু চালকীয় ফানসানের অন্তরক একসময়ে একটি চলকের জন্য নির্ণয় করা হয় তখন তাকে আংশিক অন্তরকরণ বলা হয়।
- হার্ডি বলেন, আংশিক অন্তর করন হলো এমন এক ধরনের পদ্ধতি যেখানে একাধিক স্বাধীন চলকের ফাংশনে একটি চালকের তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার কে নির্ণয় করা হয়।।
- টমাস বলেন, বহু জনকীয় রাশির অন্তরকে একটি নির্দিষ্ট চলকের প্রতি সীমাবদ্ধ করলে যেই মান পাওয়া যায় সেটি আংশিক অন্তরকলন।
আংশিক অন্তরকলন এর উদাহরণ
মনে করি ,
z= 2x² + y²+ 2xy
আংশিক অন্তরকলন হবে,
dz/dx= 4x+ 2y
dz/dy= 2y+2x
প্রথমে x এর সাপেক্ষে অন্তর করন করে দ্বিতীয় বারে y এর সাপেক্ষে অন্তর করন করে। আশা করি আপনারা সকলে বুঝতে পেরেছেন অন্তরকলন এর উদাহরণ সম্পর্কে। আপনারা যারা অর্থনীতি বিভাগের কিংবা গণিত বিভাগের শিক্ষার্থী রয়েছেন আপনাদের জন্য অন্তরকলন খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
মোট অন্তরকলন কাকে বলে
এবার আসুন আমরা দেখে নেই যে মোট অন্তরকলন কাকে বলে?? মোট অন্তরকলন বলতে বোঝায় যখন কোন রাশি একাধিক চলকের উপর নির্ভর করে তার সম্পূর্ণ পরিবর্তন করা হয়।। যদি কোন ফাংশনে একাধিক স্বাধীন চলক থাকে এবং একাধিক স্বাধীন চলকের উপর নির্ভর করে তখন মোট অন্তরক ব্যবহার করা হয়।
মনে করুন দুইটি স্বাধীন চলক যথাক্রমে x,y। এখন দুইটি চলকেরই পরিবর্তন পরিমাপ করা হবে। একে বলা হবে মোট অন্তরকজন আর যখন যেকোনো একটি স্বাধীন চলক এর পরিবর্তন পরিমাপ করা হবে তখন তাকে বলা হবে আংশিক অন্তরকলন।
মনে করি
Z=2x³+ 5y
মোট অন্তরকলন নির্ণয় করি,
X এ সাপেক্ষে অন্তরকলন,
2 d/dx x³ + d/dx 5y
=6x²
Y এর সাপেক্ষে অন্তরকলন,
2 d/dy x³ + d/dy 5y
= 5
অতএব মোট অন্তঃকরন=( d/dx) dx + (d/dy) dy
= 6x² dx + 5 dy
আশা করি আপনারা সকলে বুঝতে পেরেছেন মোট অন্তর কলন নির্ণয় এর উপায় সম্পর্কে। এবার চলুন আমরা দেখে আসি আংশিক অন্তরকলন ও মোট অন্তরকলন এর পার্থক্য গুলো।
আংশিক অন্তরকলন ও মোট অন্তরকলন এর পার্থক্য
আংশিক অন্তরকলন এবং মোট অন্তরকরণ কাকে বলে এই বিষয়ে হয়তো অনেকেই বুঝতে পেরেছেন। আংশিক অন্তরকলন হচ্ছে একাধিক চলকের ফানসানের ক্ষেত্রে শুধুমাত্র একটা চলককে ধরে পরিবর্তনের হার নির্ণয় করা আর মোট অন্তর কলন হচ্ছে সকল চলকের পরিবর্তন বিবেচনা করে ফানসানের সম্পূর্ণ পরিবর্তনের হার নির্ণয় করা।
- আংশিক অন্তর-কলন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে অনেকগুলো চলকের মধ্যে একটি চলককে পরিবর্তনশীল বিবেচনা করা হয় আর অন্য চলক গুলোকে স্থির বিবেচনা করা হয়। আর মোট অন্তরকরণের ক্ষেত্রে সকল চলকের পরিবর্তন বিবেচনা করা হয়।
- আংশিক অন্তঃকরণকে dz/dx কিংবা dz/dy দ্বারা প্রকাশ করা হয় আর মোট অন্তরকলনকে dz দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
- আংশিক অন্তরকলনে অন্যান্য সকল চলকে স্থির বিবেচনা করা হয়। আর মোট অন্তরকলনে সকল চলক কে পরিবর্তনশীল বিবেচনা করা হয়।
- আংশিক অন্তরক দেখায় x কিংবা y আলাদাভাবে পরিবর্তিত হলে z কতখানি পরিবর্তন হয় আর মোট অন্তরকলনে x ও y একসাথে পরিবর্তন করে z কতখানি পরিবর্তন হয় তা পরিমাপ করা হয়।
- আংশিক অন্তরক একটি ফাংশনের ঢাল হিসেবে ব্যবহার করা হয়। আর মোট অন্তরক ফাংশানের বাস্তব পরিবর্তনের রূপ দেখায়।
- আংশিক অন্তরকলন সহজ আর মোট অন্তরকলন তুলনামূলকভাবে জটিল।
- আংশিক অন্তর-কলন প্রায় বাস্তব জীবনের পরিবর্তন বিশ্লেষণে ব্যবহার করা হয় আর অপরদিকে মোট অন্তরকদম মূলত চাপ আর আয়তন একসাথে পরিবর্তিত হলে তাপমাত্রার পরিবর্তন হবে কিনা সে বিষয়ে জানা যায়।
প্রিয় পাঠক আশা করছি সকলে বুঝতে পেরেছেন আংশিক অন্তরকলন ও মোট অন্তরকলন এর পার্থক্য গুলো কি কি। এবার চলুন আমরা দেখে আসি অন্তর কলনের চিহ্ন গুলো কি কি।
অন্তরকলনের চিহ্ন কি
অনেকেই জিজ্ঞাসা করেন অন্তরকলনের চিহ্ন কোনটি?? অন্তর কলনের কোন চিহ্ন নেই। অন্তরকলনকে আমরা dy/dx ধারা প্রকাশ করি। এখানে ওয়াই হচ্ছে অধীন চলক আর x হচ্ছে স্বাধীন চলক। Y কে x চলকের সাপেক্ষে এখানে অন্তরকলন করা হবে।
খুবই সাধারণ ভাষায় এবং সহজ ভাবে বলি আমরা যখন কোন কিছুর পরিবর্তন পরিমাপ করি তখন ∆ চিহ্ন ব্যবহার করি এটা মূলত পরিবর্তনকে নির্দেশ করে কিন্তু যখন এমন হয় একদম ছোট কোন বস্তু যা পরিমাপ করা সম্ভব না এমন কোন কিছুর পরিবর্তন যখন আমরা পরিমাপ করতে চাই তখন ∆ এর পরিবর্তে D ব্যবহার করা হয়।
অতি সূক্ষ্ম জিনিসের পরিবর্তন পরিমাপ করার জন্য DY/DX ব্যবহার করা হয় একে বলা হয় অন্তরকলন পদ্ধতি। আশা করি আপনারা বুঝতে পেরেছেন অন্তরকলনের চিহ্ন কি এবং অন্তরকলন বলতে কাকে বোঝায়। এবার আসুন আমরা দেখে নেই ডেরিভেটিভ কি।
ডেরিভেটিভ কি
অনেকেই জিজ্ঞাসা করেন ডেরিভেটিভ কি?? ডেরিভেটিভ হচ্ছে এমন এক ধরনের ফাংশনের অবগত রূপ যা dy/dx দ্বারা প্রকাশ করা হয় এটি মূলত পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে অতি সূক্ষ্ম পরিবর্তনের হার নির্দেশ করার জন্য আমরা এই ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে থাকি।
ডেরিভেটিভ গ্রাফিক ডাল বোঝায় এবং বাস্তব সমস্যা সমাধানে এটি প্রচুর ব্যবহার করা হয় যখন অতি সূক্ষ্ম পরিবর্তন পরিমাপ করা হয় তখন মূলত ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়। সাধারণ পরিবর্তণ প্রভাব করার জন্য আমরা ∆চিহ্ন ব্যবহার করি আর যখন অতি সূক্ষ্ম কোন জিনিসের পরিবর্তন পরিমাপ করি তখন ডেরিভেটিভ ব্যবহার করি।
চেইন রুল কি
ডেরিভেটিভ নির্ণয় করার সময় আপনাদের একটি কাজে আসবে চেইন রুল। চেইনরো কাকে বলে?? যৌগিক ফাংশনের অন্তরকলনে চেইন রোল ব্যবহার করা হয় এটি ফাংশনের ভিতরে আরেক ফাংশন থাকলে ব্যবহার করে। D/dx [f(g(x))] এইরকম যখন একাধিক ফাংশন থাকবে তখন এখানে চেইন রোল ব্যবহার করা হবে এটি মূলত উচ্চতর গণিতের ব্যবহার করা হয় আর জটিল সমস্যার সমাধানের প্রয়োজনীয়।
কটিএন্ট রুল কি
কটিএন্ট রুল কি?? যখন দুটি ফাংশনের ভাগের অন্তর কলন করা হয় তখন এই পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় এতে মূলত ভগ্নাংশ ফাংশনে ব্যবহার করা হয়। এর সূত্র হচ্ছে (u/v)`= (u`v-uv`)/v²।
ডিফারেন্সিয়েশন এর প্রয়োগ কোথায় করে
অনেকে হয়তো জানতে চান যে এই অংক গুলো কোথায় কাজে আসে এই ডিফারেন্সেনশিনের ম্যাথগুলো কোথায় ব্যবহার করা হয়??? এগুলো মূলত বেগু কিংবা তরল নির্ণয়ের সময় কাজে আসে সর্বোচ্চ কিংবা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে কাজে আসে অনমনীয় বিন্দু নির্ণয়ের ক্ষেত্রে কাজে আসে।
কিংবা পদার্থবিদ্যা আর প্রকৌশল এর প্রয়োগ রয়েছে।। ব্যবসায় মুনাফার পরিমাণ কত লাভ হবে নাকি লস হবে সেই বিষয়ে ক্লিয়ার জানতেও ডিফারেন্সিয়েশন ব্যবহার করা হয়।
শেষ মন্তব্য
প্রিয় পাঠক আজকের এই পোস্টে আমরা আপনাদের সাথে আলোচনা করলাম অন্তরকলন কি?? অন্তরকলন কোথায় ব্যবহার করা হয় অন্তরকলন এর উদাহরণ কি এবং ডিফারেন্সিয়েশন এর প্রয়োগ কোথায় হয় ডিফারেন্সিয়েশন কি ডেরিভেটিভ কি।
আজকের এই পোস্টটি অন্তরকজন সম্পর্কে সবকিছু বিস্তারিত আলোচনা করেছি যারা অর্থনীতি বিভাগের শিক্ষার্থী রয়েছে তোমরা যদি শুধুমাত্র এই চ্যাপ্টারটা সুন্দরভাবে কমপ্লিট কর তাহলে তোমাদের পাস মার উঠে যাবে এই চ্যাপ্টারটা এত বেশি গুরুত্বপূর্ণ।
বাংলা আইটিটির নীতিমালা মেনে কমেন্ট করুন। প্রতিটি কমেন্ট রিভিউ করা হয়।
comment url